+(T
)= { (u,y,y’)∣u∈U, y=k(u)≤0 ,y’=k(Tu)≥0}
为
(T )的正可拓域，表示不具有某性质的元素，通过变换T变为具有某性质的元素的全体。
这种思想和方法可以应用到很多实际问题中，例如，某产品的市场是愿意购买且有能力购买该产品的人群，当
k(u)≥0 时，表示u 是市场中的人；当k(u)≤ 0
时，表示u不是市场中的人。若变换T使 k(Tu)≥0，则这些人的全体就是原市场关于变换T的可拓市场[7]。用可拓方法开拓市场，就是寻求变换T，使不是市场中的人变到市场中。再如，企业的管理者可以通过某种变换，使不为他们控制的资源转化为该企业在一定条件下可控制的资源，即可拓资源[7]。
（4）化对立为共存
在管理、控制等领域中，存在不少对立的问题，例如要把两个不同运行规则的交通系统连成一个大系统，就是一个对立问题。“狼鸡同笼”问题也是对立问题。这些对立问题，可以是事物的对立、物元的对立或系统运行规则的对立。使对立问题转化为共存问题，可以用转换桥方法[3]等去解决。
2．2 使用的基本工具
2．2．1 定性工具
物元和事元，是可拓学的基本概念，可拓变换是解决矛盾问题的基本工具，可拓分析方法是寻求可拓变换的依据。利用它们可以从定性的角度分析事物开拓的可能性。
（1）物元和事元
物元是描述事物的基本元素，用一个有序三元组R=（N, c, v）表示，其中N表示事物的名称，c表示特征的名称，v=c( N )表示N关于c 所取的量值。
事元是描述事件的基本元素，用一个有序三元组I=（d, h, u）表示，其中d表示动词，h是特征，u是d 关于h所取的量值。
一个客观的物有无数特征，用n维物元表示其有限特征及对应的量值，即
一个动词也有很多特征，以n维事元表示其有限特征所对应的量值，即
事和物的多特征性是解决矛盾问题的重要工具。
（2）可拓性
物元和事元都具有可拓性，包括发散性、相关性、蕴含性、可扩性和共轭性。可拓性是进行可拓变换的依据。
（3）可拓变换
可拓变换包括元素的变换（物元变换和事元变换）、关联函数的变换和论域的变换，它们都有四种基本变换（增删变换、扩缩变换、置换变换和分解变换），可以进行变换的运算（积变换、与变换、或变换和逆变换）及复合变换。利用可拓变换，可以为矛盾问题转化为相容问题提供多条途径。
（4）可拓方程与物元方程
①根据给定的两个要素Г1和Г2，Гi∈{ Ri, Ii,
ki, Ui}, 求未知变换Tx，使TxГ1 =Г2，这类含有未知变换的等式称为可拓方程。求Tx的过程称为解可拓方程，该变换称为该方程的解变换。
②根据已知条件，求未知的物元。文[3]把含有未知物元的物元等式称为物元方程。求物元方程的过程称为解该方程，满足上述方程的物元称为该方程的解。
通过解可拓方程和物元方程，使解不相容问题成为可能。
2．2．2 定量工具
（1）可拓集合
可拓集合是描述事物具有某种性质的程度和量变与质变的定量化工具。随着可拓工程研究的逐步开展，可拓集合的概念也由文献[4]和[6]的定义发展为如下定义：
定义1 设U为论域，k 是U到实域I的一个映射，T=(TU ,Tk,
Tu)为给定的变换，称
(T )={ (u,y,y’)∣u∈TUU, y=k(u)∈I, y’= Tk k(Tu
u)∈I }
为论域TUU上的一个可拓集合，y=k(u)为
(T )的关联函数，y’= Tk k(Tu
u)为
(T)的可拓函数。其中TU 、Tk 、Tu分别为对论域U、关联准则k和元素u的变换。
当T≠e 时，称
+(T
)= { (u,y,y’)∣u∈TUU, y=k(u)≤0 , y’=Tkk(Tuu)≥0}
为
(T )的正可拓域；
-(T )= { (u,y,y’)∣u∈TUU, y=k(u)≥0 , y’= Tkk(Tuu)≤0 }
为
(T )的负可拓域；
A+(T
)= { (u,y,y’)∣u∈TUU, y=k(u)≥0 , y’= Tkk(Tuu)≥0}
为
(T )的正稳定域；
A-(T
)= { (u,y,y’)∣u∈TUU, y=k(u)≤0 , y’= Tkk(Tuu)≤0}
为
(T )的负稳定域；
J0(T )= { (u,y,y’)∣u∈TUU, y’= Tkk(Tuu)
=0}为
(T )的拓界。
①当TU=e
, Tk=e , Tu=e 时，
(T )=
={ (u,y)∣u∈U, y=k(u)∈I }。
②当TU=e
, Tk=e 时，TUU=U，Tk k=k, 
(T )=
(Tu) ={ (u,y,y’)∣u∈U, y=k(u)∈I, y’=
k(Tu u)∈I }，
此可拓集合为关于元素u变换的可拓集合。
③当TU=e
, Tu=e 时，TUU=U，Tu
u=u
(T )=
(Tk)={ (u,y,y’)∣u∈U, y=k(u)∈I, y’= Tk k(u)∈I }
此可拓集合为关于关联函数k(u) 变换的可拓集合。
④当 Tu=e
且TUU-U≠Ф时，Tu
u=u ,
k(u) ,
u∈U∩TUU
Tk k(u)
=k’(u)=
k1(u), u∈TUU－U
(T)=
(TU)={ (u,y,y’)∣u∈TUU, y=k(u)∈I, y’= k’(u)∈I }
此可拓集合为关于论域变换的可拓集合。
特别地，当Tu=e，Tk=e 且TUU
U时，Tk k=k,
Tu u=u , y’= k(u)=y
(T )=
(TU)={ (u,y)∣u∈TUU， y=k(u)∈I }
由上述定义可见，可拓集合描述了事物“是”与“非”的相互转化，它既可用来描述量变的过程（稳定域），又可用来描述质变的过程（可拓域）。零界或拓界描述了质变点，超过它们，事物就产生质变。
当可拓集合中的元素u 是物元时，就形成物元可拓集合。物元可拓集合中每个元素——物元都有自己的内部结构，它们是描述事物量的方面，又体现事物质的方面，并将两者有机结合的统一体，其内部结构是可以改变的。由于物元内部结构的可变性、关联函数的可变性及论域的可变性，导致了物元在集合中“地位”的可变性。因此，物元可拓集合能较合理地描述自然现象和社会现象中各种事物的内部结构、彼此关系及它们的变化，从而能描述解决矛盾问题的过程。
（2）关联函数[3]
在可拓集合中，建立了关联函数的概念。通过关联函数值，可以定量地描述U中任一元素u属于正域、负域或零界三个域中的哪一个，就是同属于一个域中的元素，也可以由关联函数值的大小区分出不同的层次。为了建立实数域上的关联函数，首先把实变函数中距离的概念拓广为距的概念，作为把定性描述扩大为定量描述的基础。
定义2 设
为实轴上的任一点，
=<a,b>为实域上的任一区间，称
为点
与区间
之距。其中<a,b> 既可为开区间，也可为闭区间，也可为半开半闭区间。
点与区间之距ρ(
,
)与经典数学中“点与区间之距离”d (
,
)的关系是：
①当
或
= a, b时，ρ(
,
)= d (
,
)≥0；
②当
∈
且
≠a, b时，ρ(
,
)＜0， d (
,
)=0。
距的概念的引入，可以把点与区间的位置关系用定量的形式精确刻划。当点在区间内时，经典数学中认为点与区间的距离都为0，而在可拓集合中，利用距的概念，就可以根据距的值的不同描述出点在区间内的位置的不同。距的概念对点与区间的位置关系的描述，使人们从“类内即为同”发展到类内也有程度区别的定量描述。
在现实问题中，除了需要考虑点与区间的位置关系外，还经常要考虑区间与区间及一个 点与两个区间的位置关系。一般地，设
=<a,b>， 
=<c,d>，且
，则点
关于区间
和
组成的区间套的位值规定为
就描述了点
与
和
组成的区间套的位置关系。
在距的基础上，文[3]建立了初等关联函数：
（其中
,且无公共端点）用于计算点和区间套的关联程度。关联函数的值域是（－∞，+∞），我们用上述式子表述可拓集合中的关联函数，就把“具有性质P”的事物从定性描述拓展到“具有性质P的程度”的定量描述。
在关联函数中，k(x)≥0表示x属于X0的程度，k(x)≤0表示x不属于X0的程度，k(x)=0表示x 既属于X0又不属于X0。因此，关联函数可作为定量化描述事物量变和质变的工具。根据可拓集合的定义，对给定的变换T，当k(x)· k(Tx)≥0时，说明事物的变化是量变；当k(x)· k(Tx)≤0时，说明事物的变化是质变。
(T )关于关联函数的变换及关于论域的变换的可拓函数与关联函数也具有上述性质。
（3）优度评价法[3]
利用可拓分析和可拓变换，可以为人们提供解决矛盾问题的多种方案或策略，但这些方案或策略等必须通过筛选才能应用。为此，我们利用可拓集合和关联函数建立了评价一个对象，包括事物、策略、方案等的优劣的基本方法——优度评价法。它的优点在于：在衡量条件中，加入了“非满足不可的条件”，使评价更切合实际；利用关联函数确定各对象的合格度和优度，由于关联函数的值可正可负，因此，优度可以反映一个方案或策略利弊的程度；由于可拓集合能描述可变性，因此，在引入参数t后，可以从发展的角度去权衡利弊。
（4）可拓不等式
解决矛盾问题，是可拓集合论产生的背景和应用的归宿，为此，首先要应用物元这一工具，建立形式化的问题模型，并通过可拓集合研究问题的相容度。对于不相容问题，利用关联函数建立含有未知变换Tx的可拓不等式，通过解可拓不等式，得到解变换集{T}，其中的变换使不相容问题转化为相容问题。
定义3 若问题P的核P0=g*l的相容度为K(g ,l )≤0，即问题P为不相容问题，则含有未知变换Tg或Tl的不等式
分别称为限制可拓不等式、对象可拓不等式和复合可拓不等式。满足不等式的变换Tl、Tg、（Tg，Tl）分别称为相应的可拓不等式的解变换。所谓解可拓不等式，以限制可拓不等式为例，就是对给定的不相容问题P=R* r, 求解变换集{Tl
}，使对T l∈{T l }, 有
，文献[4]研究了解法的详细过程。
根据可拓不等式的定义知，可拓不等式的解变换是不唯一的，全体解变换的集合，称为解变换集。求可拓不等式的解变换集的过程，也就是化不相容问题为相容的过程。
可拓不等式的解变换T有多个，但并非每个解变换的结果都一样好。因此，在求出解变换集{T }后，就要选取合适的衡量条件及权系数，对各解变换进行优度评价，选取优度较高的解变换作为可拓不等式的优解变换。
2．3 菱形思维方法
可拓工程研究的基本方法是可拓方法，其中有可拓分析方法（包括发散树、分合链、相关网、蕴含系、共轭对等），物元变换方法，优度评价方法等。在解决矛盾问题的过程中，首先利用可拓分析方法对问题进行发散分析，再利用物元变换方法形成解决矛盾问题的多种方案，最后利用优度评价方法进行筛选，选取优度较高的一个或几个方案进行实施。这种思维方法称为菱形思维方法。
由于人们的创造性思维过程就包括发散性思维和收敛性思维，所以菱形思维能很好地描述人们的创造性思维过程。建立菱形思维模型，可将人们的创造性思维形式化，以使最终用计算机模拟人的创造性思维过程成为可能。
3 可拓工程研究的领域
3．1 在检测领域中的应用
在检测过程中，人们经常遇到不可检测的特征的检测问题，如何使不可检测的问题转化为可检测的问题？广东工业大学余永权教授主持的广东省自然科学基金项目“可拓检测技术研究”提出了把可拓学的理论与方法应用于检测领域，使不可检测的问题通过物元变换方法转化为可以检测的问题。这种转换，单纯用形式逻辑的思维不可能解决，它需要创造性的思维，利用可拓方法，把约束条件的可变性和检测目标的迂回性结合起来，实现不可检测问题到可测问题的转换。[8]对可拓学在检测技术中的应用进行了研究，探讨利用物元理论和可拓方法，去解决检测问题中大量不可检测问题的可能性。[9]给出了可拓检测的基本概念、原理及架构，并提出了有关的实施办法。
3．2 在管理领域中的应用
管理，无论是环境的管理，组织的管理，矛盾与发展过程的管理，还是计划、组织、领导、决策和控制，都要碰到各种各样的矛盾问题。可以说，管理的过程就是解决矛盾的过程。
可拓学在管理领域中的应用，已承接了多项关于可拓决策和可拓营销的国家自然科学基金项目和省市项目，探讨了管理过程中处理矛盾问题的规律与方法，根据环境和组织的可拓性，探讨企业、市场、产品等的可拓性。[10]讨论了处理矛盾问题的规律，用可拓方法建立了解决矛盾问题的物元模型，把解决矛盾问题的过程形式化；[11]建立了转换桥的基本概念，研究了解决对立问题和对立系统的转换桥方法；[12]等探讨了关键策略的生成方法和协调问题。这些研究是以可拓学的基本理论和方法，建立物元模型，通过物元的可拓性和物元变换，寻求解决矛盾问题的关键策略，提出了关键要素和关键策略的确定方法。 [13]研究了新产品构思的可拓方法；[14]利用事元蕴含系建立了开拓市场的方法；[7]建立了以创新为核心，以创造产品——开拓市场——革新企业为主线的可拓营销理论与方法；通过讨论市场的可拓性，提出可拓市场的概念，研究了可拓市场的类型及确定可拓市场的方法；利用可拓集合的思想建立了可拓资源的概念，为资源研究提供了一种形式化、定量化分析方法。
3．3 在控制领域中的应用
一个控制系统，往往存在各种各样的矛盾。例如，快速性、准确性和稳定性之间就存在着矛盾，而传统的控制系统受精确模型的形式逻辑方法所限，不能很好地解决这类问题。[15]把可拓方法引进了控制领域，提出了基于物元理论和可拓集合理论的一类新型智能控制方法，他将矛盾问题通过适当的方法加以转化，成为相容问题，称之为可拓控制。可拓控制是华东理工大学的王行愚教授提出的，并完成了国家自然科学基金项目“可拓控制”。
可拓控制从信息转化的角度去处理控制问题，以控制输出信息的合格度作为确定控制输入矫正量的依据，从而使被控信息转换到合格范围内[16]。[17]提出了可拓语言控制器，[18]确定了可拓专家系统，[19]讨论了可拓信息控制，[20—21]对可拓控制进行了进一步的研究。可拓CIMS、可拓优化、可拓信息集成等一系列可拓控制的新思想和新方法也先后被提出。[22]将可拓控制理论应用于计算机网络入侵检测方法的研究。
3．
4 在信息领域中的应用
信息的可拓性是物元可拓性的具体体现，利用信息的可拓性，可以从已有的信息挖掘出很多有用的新信息。[23]研究了信息的可拓性，[24—25 ]研究了可拓信息及其应用。大连海事大学刘巍教授研制了“刑侦软件”，广州中医药大学黎敬波副教授等承接了国家自然科学基金项目“可拓方法在中医外感病因研究中的应用”，利用可拓方法和人体的已知信息探究中医外感病因。[26]研究了利用可拓方法诊断系统故障的问题；[27]研究了可拓方法在搜索领域中的应用；目前也有学者开始研究基于可拓方法的信息挖掘技术。这些工作都是利用信息的可拓性，去探求未知的信息、开拓新的信息。尽管这些工作还是很初步的，但它们表明，可拓方法在信息领域具有广泛的应用前景。
3．5 在计算机领域中的应用
文[28]开始研究可拓方法的计算机实现问题；[29]研究了可拓语言；[30]探讨了可拓逻辑；[31—32]讨论了可拓推理；台湾大同大学的黄有评教授利用可拓方法等研制了中国象棋软件，并在全国第八届可拓工程年会上演示；[33]利用可拓论研究了可拓知识库系统，讨论了可拓知识表示法，可拓知识库系统的特点与架构。这些工作为可拓方法的计算机实现打下了基础，也开创了可拓学在计算机领域中的应用。对可拓数据库和可拓知识库的探讨有助于信息挖掘的深入研究，利用可拓数据库和可拓知识库，将为人工智能研究开拓新的方法。
4
结束语
由于可拓工程的研究对象是矛盾问题，因此它的应用领域非常广泛，上述只是几个较有代表性的领域。目前也有很多学者把可拓工程应用于军事、经济、教育、医学和农业等领域，进行了很多有益的探索，限于篇幅，此不详述。总之，可拓工程的研究还很初步，但事实证明，它是一个非常有前途的研究方向，随着各工程领域参与研究的专家学者不断增加，在不久的将来，必将产生突破性的应用成果。
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y=k(u)∈I, y’=k(Tu)∈I }
的正域，表示具有某性质的元素的全体。