可拓集合及其应用

《数学的实践与认识》2002，32（2）

可拓集合及其应用研究

杨春燕，张拥军，蔡文

（广东工业大学可拓工程研究所, 广东广州 510080 ）返回首页

摘要：文章介绍了扩展的可拓集合概念，提出了可拓集合论需要进一步研究的内容，并综述了可拓集合在人工智能、市场、资源、检测和控制等领域的应用。

关键词：可拓集合；关联函数；可拓变换；可拓不等式

1 引言

集合是描述人脑思维对客观事物的识别与分类的数学方法。客观事物是复杂的，处于不断运动和变化之中，因此，人脑思维对客观事物的识别和分类并不只有一个模式，而是多种形式的，从而描述这种识别和分类的集合也不应是唯一的，而应是多样的。

数学中的矛盾方程、矛盾不等式所描述的问题原形，实际上很多是有解的，认为“无解”的原因，在很多情况下，是因为只考虑数量关系而没有把事物和特征引入数学。例如“曹冲称象”问题，只考虑数量关系是无法解决的，即是矛盾问题，但事实上它是有解的。为此，有必要把解决矛盾问题的过程形式化，并建立相应的数学工具使之定量化。1983年，文[1]提出了可拓集合及其可拓域、稳定域、零界等概念，用它们来描述“是”与“非”的相互转化，从而能定量地表述事物的质变和量变的过程，而零界概念则描述了事物“既是又非”的质变点。这些为矛盾问题的解决提供了合适的数学工具。

文献[1-3]中用一元组建立了可拓集合的初步定义，文献[4]引进了变换T ，用二元组来规定可拓集合，并定义了可拓集合的正域、负域、零界、可拓域、稳定域等，但由于它用两个定义共同来描述元素的可变性及量变和质变的过程，因而难以从可拓集合直接反映出“是”与“非”相互转化的形式化描述，在此定义中涉及到的变换T只是对元素的变换。文献[5-8]又将变换T扩展为对关联函数或对论域的变换。

为了概括十多年来对可拓集合研究的成果，使可拓集合的定义能直接描述元素性质的可变性和量变、质变的过程，我们用三元组（u, y, y’）和可拓变换T=(T_U , T_k, T_u)来规定可拓集合。本文首先介绍扩展的可拓集合概念，并以此为基础进行讨论。

2 扩展的可拓集合概念^[9]

2.1 可拓集合的基本概念——关于元素变换的可拓集合

定义1 设U为论域，k 是U到实域I的一个映射，T为给定的对元素的变换，称

(T)={ (u, y, y’)∣u∈U, y=k(u)∈I, y’=k(Tu)∈I }

为论域U上关于元素变换的一个可拓集合，y=k(u)为(T )的关联函数，y’=k(Tu)为(T ) 关于变换T的关

联函数，称为可拓函数。

（1）当T=e（e为幺变换）时，记(e)=={ (u, y)∣u∈U, y=k(u)∈I }^[3] ，称

A={ (u, y)∣u∈U, y=k(u)≥0 } 为的正域；

={ (u, y)∣u∈U, y=k(u)≤0 } 为的负域；

J₀={ (u, y)∣u∈U, y=k(u)= 0 } 为的零界。

（2）当T≠e 时，称

₊(T )= { (u, y, y’)∣u∈U, y=k(u)≤0 , y’=k(Tu)≥0}为(T )的正可拓域；

_-(T )= { (u, y, y’)∣u∈U, y=k(u)≥0 , y’=k(Tu)≤0 }为(T )的负可拓域；

A₊(T )= { (u, y, y’)∣u∈U, y=k(u)≥0 , y’=k(Tu)≥0}为(T )的正稳定域；

A_-(T )= { (u, y, y’)∣u∈U, y=k(u)≤0 , y’=k(Tu)≤0}为(T )的负稳定域；

J₀(T )= { (u, y, y’)∣u∈U, y’=k(Tu) =0}为(T )的拓界。

2.2 可拓集合的一般概念

定义1是关于元素变换的可拓集合。定义1中假定论域U和关联准则k都是固定的，但在实际问题中，U和k也是可以改变的。为了体现这两种变换下的可拓集合，我们给出如下的一般定义。

定义2 设U为论域，k 是U到实域I的一个映射，T=(T_U,T_k, T_u)为给定的变换，称

(T )={ (u, y, y’)∣u∈T_UU, y=k(u)∈I, y’= T_k k(T_u u)∈I }

为论域T_UU上的一个可拓集合，y=k(u)为(T)的关联函数，y’= T_k k(T_u u)为(T)的可拓函数。其中T_U 、T_k 、T_u分别为对论域U、关联函数k(u) 和元素u的变换。这里规定：当u∈T_UU-U时，y=k(u)<0。

（1）当T_U=e , T_k=e , T_u=e 时，(T)=，即定义1的（1）。

（2）当T_U=e , T_k=e 时，T_UU=U，T_k k=k, (T)=(T_u)，此可拓集合为关于元素u变换的可拓集合，

即定义1的（2）。

（3）当T_U=e , T_u=e 时，T_UU=U，T_u u=u

(T )=(T_k)={ (u, y, y’)∣u∈U, y=k(u)∈I, y’= T_kk(u)∈I }, 此可拓集合为关于关联函数k(u) 变换的可拓集合，它同样有可拓域、稳定域和拓界。

（4）当 T_u=e 且T_UU﹣U≠Ф时，T_u u=u ,

k(u) , u∈U∩T_UU

T_k k(u) =k’(u)=

k₁(u), u∈T_UU－U

(T )=(T_U)={ (u, y, y’)∣u∈T_UU, y=k(u)∈I, y’= k’(u)∈I }

此可拓集合为关于论域U变换^[10]的可拓集合。

由上述定义可见，可拓集合描述了事物“是”与“非”的相互转化，它既可用来描述量变的过程（稳定域），又可用来描述质变的过程（可拓域）。零界或拓界描述了质变点，超过它们，事物就产生质变。元素的变换（包括事元和物元的变换）、关联函数的变换和论域的变换，统称为可拓变换。

2.3 物元可拓集合

物元是可拓学的逻辑细胞，是形式化描述事物的基本元，用

R=（事物，特征的名称，量值）=（N, c, v）

这个有序三元组来表示。它把物的质与量有机地结合起来，反映了物的质与量的辨证关系。物元具有发散性、相关性、共轭性、蕴含性、可扩性等可拓性，这些性质是进行物元变换的依据，而物元变换是可拓集合中“是”与“非”相互转化的工具。当可拓集合中的元素是物元时，就形成物元可拓集合^[12]。在扩展的可拓集合定义下，物元可拓集合也有类似于定义2的定义，此略。

物元可拓集合中每个元素——物元都有自己的内部结构，它们是既描述物的量的方面，又体现物的质的方面，并将两者有机结合的统一体，其内部结构是可以改变的。由于物元的可变性、关联函数的可变性及论域的可变性，导致了物元在集合中“地位”的可变性。因此，物元可拓集合能较合理地描述自然现象和社会现象中各种物的各个侧面、彼此关系及它们的变化，从而能描述解决矛盾问题的过程。

2.4 可拓关系

可拓关系^[4]是对两个或两个以上论域而言，描述各论域中元素间某种关系的程度及其可变性的一类可拓集合。本文给出在扩展的可拓集合定义下的可拓关系的定义。

定义3 设U、V为任意两个论域，K 是U×V到实域I的一个映射，T为给定的对元素（u, v）∈U×V的变换，称

(T )={ ((u,v), y, y’)∣(u，v)∈U×V, y=K(u, v)∈I, y’=K[T(u, v)]∈I }

为U与V之间关于元素（u, v）变换的二元可拓关系， y=K(u, v)为(T)的二元关联函数，y’=K[T(u, v)]为(T )关于变换T的关联函数，称它为二元可拓函数。

与定义1类似，(T )也有正域、负域、零界、可拓域、稳定域、拓界，它们可以用来描述两个论域中元素间关系的密切程度及关系的变化。

对n个论域而言的可拓关系称为n 元可拓关系。

上述定义是对元素的变换而言的，与定义2类似，也有关于关联函数变换、论域变换的可拓关系，从略。

2.5 关联函数与距

在可拓集合中，建立了关联函数这一概念。通过关联函数值，可以定量地描述U中任一元素u属于正域、负域或零界三个域中的哪一个，即使同属于一个域中的元素，也可以由关联函数值的大小区分出不同的层次。为了建立实数域上的关联函数，首先把实变函数中距离的概念拓展为距^[4]的概念，即把

定义为点x₀ 与区间X₀=<a, b>之距。其中<a, b>既可为开区间，也可为闭区间，也可为半开半闭区间。用距作为把定性描述扩大为定量描述的基础。

距ρ(x₀, X₀)与经典数学中“点与区间的距离”d (x₀, X₀ )的关系是：

（1）当x₀X₀或x₀=a, b时，ρ(x₀, X₀)= d (x₀, X₀ )≥0；

（2）当x₀∈X₀ 且x₀≠a ,b时，ρ(x₀, X₀)＜0，d (x₀, X₀ )=0。

距的概念的引入，可以把点与区间的位置关系用定量的形式精确刻划。当点在区间内时，经典数学中认为点与区间的距离都为0，而在可拓集合中，利用距的概念，就可以根据距的值的不同描述出点在区间内的位置的不同。距的概念对点与区间的位置关系的描述，使人们从“类内即为同”发展到类内也有程度区别的定量描述。

在现实问题中，除了需要考虑点与区间的位置关系外，还经常要考虑区间与区间及一个点与两个区间的位置关系。一般地，设X₀=<a, b>， X=<c, d>，且X₀X，则点x关于区间套X₀和X的位值规定为

D(x,X₀,X)就描述了点x与区间套X₀和X的位置关系。

在距的基础上，文[4]建立了初等关联函数：

(,且无公共端点)

用于计算点和区间套的关联程度。关联函数的值域是（-∞，+∞）。我们用上述式子表述可拓集合中的关联函数，就把“具有性质P”的事物从定性描述拓展到“具有性质P的程度”的定量描述。

在关联函数中，k(x)≥0表示x属于X₀的程度，k(x)≤0表示x不属于X₀的程度，k(x)=0表示x 既属于X₀又不属于X₀。因此，关联函数可作为定量化描述事物量变和质变的工具。根据可拓集合的定义，对给定的变换T，当k(x)· k(Tx) ＞0时，说明事物的变化是量变；当k(x)· k(Tx) ＜0时，说明事物的变化是质变。(T)关于关联函数变换及关于论域变换的可拓函数与关联函数也有上述性质。

2.6 可拓不等式

解决矛盾问题，是可拓集合论产生的背景和应用的归宿，为此，首先要应用物元这一工具，建立形式化的问题模型，并通过可拓集合研究问题的相容度。对于不相容问题，利用关联函数建立含有未知变换T_x的可拓不等式，通过解可拓不等式，得到解变换集{T}，其中的变换使不相容问题转化为相容问题。

定义4 若问题P的核P₀=g*l的相容度为K(g ,l )≤0，即问题P为不相容问题，则含有未知变换T_g或T_l的不等式

分别称为限制可拓不等式、对象可拓不等式和复合可拓不等式。满足不等式的变换T_l、T_g、（T_g，T_l）分别称为相应的可拓不等式的解变换。所谓解可拓不等式，以限制可拓不等式为例，就是对给定的不相容问题P=R* r, 求解变换集{T_l}，使对T_l∈{T_l}, 有，文献[4]研究了解法的详细过程。

根据可拓不等式的定义知，可拓不等式的解变换是不唯一的，全体解变换的集合，称为解变换集。求可拓不等式的解变换集的过程，也就是化不相容问题为相容的过程。

正是由于可拓不等式的解变换的不唯一性，使得利用可拓集合对事物的分类是动态的。

可拓不等式的解变换T有多个，但并非每个解变换的结果都一样好。因此，在求出解变换集{T}后，就要选取合适的衡量条件及权系数，对各解变换进行优度评价，选取优度较高的解变换作为可拓不等式的优解变换。

3 可拓集合论中需进一步研究的内容

自1983年开创性论文[1]发表以来，文献[3][4]概述了可拓集合论的初步框架，研究了可拓集合、物元可拓集合、可拓关系的运算和性质，探讨了关联函数的构造方法、类型、性质及关联不等式的解法等，为解决现实世界中的不相容问题提供了定性与定量相结合的方法。

鉴于可拓集合应用的广泛性，吸引了很多学者对此进行深入的研究。文献[8]中收录了对可拓集合、关联函数研究的成果，文献[13-17]进一步研究了n维物元可拓集合及可拓集合的性质，文献[18]研究了区间可拓集及其关联函数，文献[8][19][20]研究了可拓凸集。

随着可拓集合理论研究的深入，以此为基础的一些课题如可拓代数^[8]、可拓概率^[21]、可拓矩阵^[8]、可拓逻辑与算法^[8][22-24]等的研究已逐步展开，它们将形成解决矛盾问题的新的数学分支——可拓数学^[8][25]。

在扩展的可拓集合定义下，有许多理论问题需要进一步研究，主要包括如下几个方面：

（1）可拓性与可拓集合的关系研究

（2）可拓集合的关系与运算研究

（3）物元可拓集合的性质与运算研究

（4） n 维可拓集合与n元关联函数研究

（5）关联函数与可拓函数的构造、类型与性质研究

（6）可拓不等式的类型及其解法研究

（7）可拓不等式的解变换的优度评价研究

4 可拓集合的应用

由于可拓集合概念的普适性，使可拓集合可应用于诸多研究领域。目前，国内外已有很多学者把它应用于人工智能、市场、资源、检测、控制、系统和信息等的研究。

4.1 可拓集合与人工智能的问题处理、分类和识别^[26]

求“矛盾问题的解”，对人工智能的发展来说，是不能不考虑的。计算机要处理矛盾问题，可以运用可拓学的基本思想和方法。用可拓学解决矛盾问题的集合论基础是可拓集合论，其本质是“变非为是”、“不行变行”、“不属于变属于”等的形式化描述。它也应是计算机进行矛盾问题处理的理论基础之一。可拓集合描述事物性质的可变性，描述量变和质变，也是人工智能解决问题的定量化工具。物元可拓集合一方面用物元可拓域表示物元变换使负域的元素转化为正域的元素的可能性，另一方面，用关联函数定量地表述问题性质变化的可能性。可拓集合的本质体现在可拓域、零界和可拓变换中。计算机如果能利用它们处理事物性质的动态变化，进行创造性思维和生成策略，并利用可拓集合作为解决问题的定量化工具，进行定性和定量相结合的操作，那将大大提高机器的智能水平。

集合，是人类进行分类和识别的一种方法，经典集合、模糊集合和粗糙集合都分别提出了各自的分类识别的方法和准则，它们成为各自形成的分支的理论基础。这三类集合方法都把事物具有某种性质的程度看成不变的，可以说，是从“静态”的角度考察事物。但在客观世界中，事物具有某种性质的程度是在变化的，也只有这样，矛盾的问题才能转化为相容的问题。为了从本质上考察动态的事物和变化的过程，可拓集合建立起来了。可拓集合把分类与变换（包括时间、空间的变换）联系起来。根据这种分类思想，元素的分类是可以改变的，它具有某种性质的程度（关联度）也是可变的。也就是说，在一定的变换下，负域的元素可转变为正域的元素，这就为矛盾问题转化为相容问题提供了依据。

分类，是人工智能进行识别、检索、决策和控制的前提。显然，分类的模式决定了模式识别的方法，可拓分类方法^[27]可为动态事物和动态过程的模式识别注入新的方法。因此，把物元变换的思想引入到识别方法中，把可拓方法应用于识别研究将使计算机的分类和识别能力提高。

4.2 在市场和资源研究中的应用

文献[28]利用可拓集合对市场进行了分析，认为市场可以用物元可拓集合描述，并提出了可拓市场的概念，文献[29]给出了可拓市场的形式化描述，即在物元论域W上建立物元可拓集合

(R;T)={(R, y, y’)∣R∈W, y=K(R)∈I, y’=K(TR)∈I }

其中R为关于消费者的购买能力和购买意愿的二维物元，称

₊(R;T) ={(R, y, y’)∣R∈W, K(R)≤0，K(TR)≥0}

为原市场M(R) ={(R , y)∣R∈W, K(R)≥0}（即有能力购买且愿意购买某产品的消费者的集合）关于变换T的可拓市场。文献[30]研究了在不同可拓变换下可拓市场的类型（包括对元素的变换、对关联准则的变换、对论域的变换、对时间的变换等）及实现可拓市场的方式，为企业开拓市场提供了新的理论和方法。